相手と話し合いができるなら、直接請求することもできます。

話し合いができないなら、弁護士に内容証明郵便をだしてもらって請求することが多いかと思います。払ってもらえるとなった場合でも、示談書のような書面を作っておいたほうがよいでしょう。

内容証明郵便を送ってもうまく協議をまとめられないなら、相手の住所地の簡易裁判所で調停を申し立てます。調停は合意を形成する場なので、話し合いがまとまれば調停調書が作成されますが、まとまらなければ不成立で終わってしまいます。調停調書作成までできれば、裁判の判決とおなじ効力があるので、相手が調停で決まったことを守らなければ、強制執行をすることができます（給料を差し押さえてしまうなどです）。

調停が不調の場合には、次は地方裁判所に訴訟を提起することになります。これは通常の民事訴訟です。ただ、この浮気を理由とする離婚訴訟を提起する場合には、愛人に対する慰謝料請求訴訟をいっしょに家庭裁判所に提起することもできますので、ひとつの手続きでできます。裁判では、浮気の証拠が必要になりますし、弁護士費用も裁判のほうが高くなります。