ここで問題なのは、管轄と呼出状の送達です。正規の送達はアメリカの裁判所は領事館を通してなされます。日本語の翻訳文を付ける必要があります。これは民事訴訟手続に関する条約によって決められています。
管轄が日本法から認められない場合でも、適切でない送達でも（弁護士からの送達、翻訳文のない送達）の場合は、応訴して訴訟で対応すると、管轄が認められたり、送達の欠陥につき異議を言えなくなるようなリスクがあります。

対応としては、日本での管轄が認められるなら（これは家庭裁判所に確認したほうがよいでしょうが、認められることも多いです。）日本であなたのほうで離婚訴訟を提起し、きちんと日本法の慰謝料・養育費などを認めてもらう。そして、アメリカの訴訟には応訴をしないでおく。そこで、判決が出て日本で執行されそうになったら争うか、判決がでたらその無効の確認を日本で提起する方法がありえます。または、米国の州弁護士に依頼してきちんと応訴するという方法もありますが、これがもっとも費用がかかるでしょう。